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随机变量及其分布

基本概念​

  • 随机变量X：XA(e)X_{A}(e)，表示在事件A中的随机变量
    • 定义
      • 用符号语言来说，在试验E下的样本空间S，对于任意事件e（∀e∈S\forall e\in S），有唯一实数X(e)X(e)对应。称X(e)X(e)为随机变量
      • 通俗地说，随机变量是将试验中的样本点赋予数值，来量化概率的一个变量（函数）
    • 类型
      • 离散型随机变量：定义域有限个或可列无穷多个
      • 连续型随机变量：无穷多个且充满区间
    • ※特性和解释
      • 随机变量是一个定义在样本空间上的实值函数，它将试验的每个可能结果映射到一个实数
      • 不是一个固定的值，而是一个具有概率分布的变量
      • 定义域为事件集，值域为对应事件概率
      • 它的函数也是一个随机变量（X为随机变量，Y=2X，Y也是随机变量），只要它是可测的

分布​

描述随机变量或随机事件的概率性质的一种数学方法
分布律和概率密度函数是描述分布的一般形式

离散型​

分布律​

定义​

P{X=Xk}=pk，k=1,2,⋯P\lbrace X=X_k\rbrace=p_k，k=1,2,\cdots

（这里k是X的下标，并不是X要取的值）

  • 非负性：pk≥0p_k\ge 0
  • 归一性：∑k=1∞pk=1\sum_{k=1}^{\infty}p_k=1（所有样本点概率和为1）
表现形式​

  • 分布列（表格）

    Xx1x2⋯xkpxp1p2⋯pk\begin{array}{c|ccccccccc} \text{$X$} & x_1 & x_2 & \cdots & x_k \\ \hline \text{$p_x$} & p_1 & p_2 & \cdots & p_k \\ \end{array} \hspace{5000px}

  • 线条图

  • 概率直方图

分布类型​

  • 二项分布

    • 设E是只有两种可能结果的试验（伯努利试验），重复n次(n重伯努利试验)

    • P{X=k}=Cnk pk(1−p)kP\lbrace X=k\rbrace =C_{n}^{k}\space p^k(1-p)^k
      • 记为X∼B(n,p)X\sim B(n,p)
      • 01分布（伯努利分布）
        是二项分布的特殊情况（n=1）
        记为X∼(0−1)X\sim(0-1)或X∼B(1,p)X\sim B(1,p)

  • 泊松分布

    • P{X=k}=λke−λk!，k=0,1,2,⋯P\lbrace X=k\rbrace =\displaystyle\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}，k=0,1,2,\cdots
      • 记为X∼π(λ)X\sim \pi(\lambda)

连续型​

概率密度函数​

满足以下条件的f(x)f(x)：

  • 概率非负
    • f(x)≥0，−∞<x<∞f(x)\ge 0，-\infty<x<\infty
  • 所有样本点概率和为1
    • ∫−∞∞f(x)dx=1\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1
  • 区间面积表示该区间的概率，y值表示概率在此点的密度
    • P{a≤X≤b}=∫abf(x)dxP\lbrace a\le X\le b\rbrace = \int_{a}^{b}f(x)dx

分布类型​

  • 均匀分布
f(x)={1b−a,a<x<b0,其他\begin{align*} f(x)= \left \{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{b-a} &, a<x<b\\ 0 &,其他 \end{array} \right. \end{align*}
  • 指数分布
f(x)={1θe−x/θ,x>00,其他\begin{align*} f(x)= \left \{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta} &,x>0\\ 0 &,其他 \end{array} \right. \end{align*}
  • 正态分布
f(x)=12πσe−(x−μ)2/(2σ2)，−∞<x<∞f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}，-\infty < x <\infty

分布函数​

二维随机变量​

补充​

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